Geometría fractal (III)

Sin duda el más conocido de los fractales es el Benoît Mandelbrot. «Es considerado el principal responsable del auge de este dominio de las matemáticas  desde el inicio de los años setenta, y del interés creciente del público. »

Represenatcion conjunto de Mandelbrot

«En efecto, supo utilizar la herramienta que se estaba popularizando en ésta época – la computadora – para calcular y trazar los más conocidos ejemplos de geometría fractal: el conjunto de Mandelbrot.  El con junto de Mandelbrot es un conjunto de puntos en el plano complejo, cuyo borde forma un fractal.» En la figura se muestra una representación del conjunto de Mandelbrot en el plano de los «números complejos», los puntos dentro del contorno negro pertenecen conjunto, por ejemplo el punto -1 pertenece al conjunto y el 1 no.

Se dice que los números complejos tiene dos componentes representados en los ejes de coordenados de la figura. Los números reales (enteros, racionales e irracionales) que se representan en el eje horizonta, como sabemos la unidad de estos números es 1, una propiedad de los números reales positivos tiene siempre una raíz cuadrada que también cae en el conjunto de los números reales, habiendo uan raíz positiva y otra negativa. Pero, ¿qué pasa con los números negativos?, su raíz cuadrada no existe dentro de los números reales, forman otro conjunto llamado el conjunto de los números imaginarios, siendo su unidad  la raíz cuadrada de -1 que se denota  con la letra i, los «números imaginarios» se representan en el eje vertical, que no tiene nada de imaginarios, son una generalización del concepto de número y que han servido para desarrollar un nuevo campo de las matemáticas.

Así surge el conjunto de los números complejos que tiene la forma z =x + iy dónde, siendo x y y números reales, con grandes aplicaciones en la ciencia y la tecnología, entre muchos otros el estudio del efecto mariposa y  de los fractales que iremos discutiendo en las próximas notas.

(nota basada en material publicado en la wikipedia)

Geometría fractal (II)

Uno de los precursores en estudiar el tema de los fractales fue  Gaston Maurice Julia (3  Febrero de 1893, 19 de Abril de 1978), fue quien explicó que a partir de una función de variable compleja (en el sentido matemático de los números complejos), se puede construir por medio de una «secuencia definida por inducción», dando lugar a una forma cuya frontera es de longitud infinita, como se comentó en la nota anterior sobre la estrella de Koch.

«Su notoriedad culminó al ser publicado su artículo Informe sobre la iteración de las funciones racionales (Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles) en la revista francesa de matemáticas Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Este artículo de 199 páginas le permitió ser galardonado por la Academia de las Ciencias Francesa«… «Sin embargo, en su vida no tuvo mucha fama. En efecto, murió antes de que se volvieran muy populares los fractales, a inicios de los años ochenta. Este interés tardío, que sigue vivo hoy, fue debido al segundo padre de éstos, el matemático polaco Benoit Mandelbrot, quien tuvo una ventaja enorme sobre Gaston Maurice Julia: pudo aprovechar la invención del ordenador.» En la figura se observa una imagen creada por computadora que muestra el fractal Mandelbrot-Julia, en negro aparece una imagen del conjunto de Mandelbrot, superpuesto con los conjuntos de Julia rellenos, representa algunos de los puntos (en rojo los «conexos» y en azul lo «no conexos»). Más adelante en otras  notas se comentará más sobre algunas nociones matemáticas involucradas en el estudio de los fractales. (nota elaborada con material tomado de la wikipedia).

 

 

 

 

Geometría fractal (I)

La geometría fractal se desarrolla a partir de observar ciertas funciones, el
en diferentes pasos que repiten un patrón, en lo que se conoce proceso iterativo. En la naturaleza se observan formas que sigue un patrón fractal como el que se muestra en la figura a la izquierda.

El matemático Helge von Koch en 1904 publica el artículo «Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental», en donde da a conocer una forma geométrica que se construye.Se le conoce popularmente como  copo de nieve de Koch, o  estrella de Koch, «que  es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto», dicho en lenguaje cotidiano  la curva terminan en puntos y algunos lugares dando origen a la forma que observamos.

Podemos observar en las figuras como se construye la estrella de Koch. En sus tres primeros pasos, vemos como en los pasos sucesivos se remplazan los tres segmentos por 4 de igual longitud, lo cual hace que la longitud  de cada  figura sea n, por 4/3, en el primer paso es 4/3, en el segundo es 2(4/3), en el tercero 3(4/3). Después de n pasos la longitud total de la curva será  3·(4/3)ⁿ  

Esto es lo que se conoce como forma recursiva de obtener un resultado después de n pasos. Así lo que se obtiene es «una sucesión geométrica cuyo valor tiende a infinito», expresado en términos matemáticos, manteniendo siempre la razón 4/3.  A esto le llamó Mandelbrot infinito interno. Este tipo de figuras  con una razón mayor de a uno, se dice que  tienen  dimensión fractal d > 1.

 

Nota basada en material tomado de la wikipedia.