Brevísimo 1-1011: Conexiones en una red

Veamos el número de conexiones en  una red  poligonal  con «n» nodos imagen tomada de elatleta.com. Empecemos primero con un cuadrado, tiene cuatro nodos (vértices) y pueden darse entre ellos seis conexiones. Una un pentágono serían 5 nodos y 10 conexiones. Para un hexágono 6 nodos y 15 conexiones. Para el polígono de la figura ¿cuántas conexiones entre los nodos del polígono pueden tenerse?.

Podemos observar que el número de conexiones será mucho mayor al número de nodos, esto en una red quiere decir que la cantidad de conexiones deterrmina la complejidad del sistema.

De esta manera si cada nodo puede enviar un 1 o un 0 existe una gran cantidad de combinaciones muy grande. Esto es se pueden formar numerosos patrones reconocibles que pueden tener un significado, por ejemplo como se dan en la sinapsis de nuestro sistema nervioso que interconectan  las neuronas. Ahora si cada nodo puede transmitir una mayor variedad de mensajes, la complejidad aumentan. Imaginen una red de equipos móviles interconectados que puede transmitir mensajes con usando dos bytes (octeto binario). Las posibilidades aumentan enormemente. Como ejercicios sugiero calcular la variedad de mensajes que puede transmitir cada nodo y la cantidad de información que se puede manejar en una red de este tipo, con la condición de que todos los mensajes y conexiones tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Cantidad de información

La cantidad de información que es capaz de manejar un sistema está en función de la variedad de mensajes que puede elaborar,  por ejemplo en que el caso de ocho lámparas de distinto color sabemos que se pueden codificar 2 ⁸, correspondientes a la posibles combinaciones  de lámparas encendidas o apagadas, en este caso la variedad esta dada por N = 2 ⁸, esto es lo posibles mensajes que puede elaborar el sistema para transmitirlos. La cantidad de información en el caso de un código binario como:

I = log ₂ N

 La unidad binaria de información es un bit (Binary digIT) de ahí que en el arreglo de lámparas la cantidad de información es de 8 bit, con lo lo cual se pueden codificar diferentes mensajes. En nuestra computadoras al arreglo de 8 bit se le conoce como bytes, y es la manera como se codifican los caractres en los teclados, así para cada caracter solo se requiere un byte. (Escultura dedicada a la Entropía,  Universidad de Monterrey, México, tomada d ela wikipedia)

Shannon expresó la cantidad de información mediante  la expresión

H = – Σ p(i) . ln p(i)

Donde Σ es la suma desde i = 1 hasta i = n,  H es la cantidad “esperada” de información,  p(i) es la probabilidad que tiene la señal i de ser transmitida y ln el logaritmo con la base elegida par amedir la cantidad de información. En el caso binario sería logaritmo de base 2.

Se conoce a la variable H como entropía de Shannon, por su similitud de la expresión de la entropía en la termodinámica. Puede observarse que que I = -H  por lo que también se le conoce como entropía negativa,  así en un sistema termodinámico H mide «el grado de desorden»,  I mide el grado de orden que puede ser distinguida en su sistema. Un «sistema ordenado» sería aquel que tiene una estructura reconocible. Conforme el sistema va incrementando su entropía los patrones reconocibles de una estructura van disminuyendo.

Cibernética y complejidad I

Inicio una serie de notas sobre cibernética y complejidad. Que en la primera parte incluye: ¿qué es la cibernética, caja negra y sistemas, cambio-de-estado, transformación, variedad y sistemas, regulacion y sistemas, retroacción, Cantidad de información. Con esta serie tengo la intención de ofrecer pláticas y talleres en línea o en forma presencial, los interersado por favor manden un correo a jblasquez51@gmail.com o dejen un mensaje en esta nota.

Retroacción

La retroacción o retroalimentación es una forma como se logra la interacción entre diferentes sistemas. Un sistema habitualmente regula su comportamiento usando este mecanismo. Lo importante es la información que existe en los mensajes que se envían entre sí  los sistemas. Los portadores de  son de diferente naturaleza física dependiendo del sistema y su entorno, pero lo importante es la información que llevan. Los agentes transmiten o reciben información con algún tipo de energía, sin embargo este  transporte no se basa en la energía sino en la cantidad de información, la cual dependerá de la variedad de mensajes que es capaz de procesar el sistema. Actualmente este término introducido por Wiener (1943, op cit) se usa ampliamente en diferentes disciplinas, por lo que puede decirse que es una idea básica de la multidisciplina en el estudio de sistemas complejos.

La retroalimentación es el mecanismo de control o regulación de un sistema complejo. Podemos observar ejemplos en el entorno físico, biológico, social e inclusive para autorregular nuestro comportamiento. Este mecanismo trabaja de acuerdo con a la diferencia entre la meta deseada y el resultado obtenido, de ahí que se que diga que está basado en el error. Sabemos que los organismos y operan de esta manera, por ensayo y error. La retroalimentación negativa consiste en disminuir el error y la retroalimentación positiva en incremantar el error. Cuando se busca que un sistema alcance un estado de equilibrio se usa la rettroalimentacción negativa, en caso contrario se usa la retoralimentación positiva.

Un ejemplo de retroalimentación negativa es la homeostasis en un organismo vivo en el que se tiene estos mecanismos para su supervivencia, tales como la regulación de la temperatura o de nuestro metabolismo. Podemos hablar de una homeostasis de tipo psicológica, como una tendencia de los seres humanos a encontrar un estado de equilibrio.

Como un ejemplo de una retroalimentación positiva es lograr la oscilación de un sistema al que no se deja mantenerse en un estado y se desea la oscilación permanente. coo es el caso de los dipositivos transmisores de diferentes tipos de ondas. Sin embargo si se desea modular la frecuencia o amplitud de la oscilación se debe usar un mecanismo que la regule también con retroalimentación negativa.

Regulación y sistemas

La palabra cibernética proviene del griego kybernes que original mente tenía el sentido del timonel, quien conducía un barco y que podía desempeñar en muchas ocasiones el puesto de capitán, en este puesto se determinaba el rumbo de un barco. A lo largo del tiempo la idea  se adoptó en diferentes disiciplinas, así en su trabajo «Essai sur la la philosophie des sciences» (1834) Ampere le dió el nombre de cybernétique a la ciencia de las diferentes forma de proceder de un gobierno, del latín gubernator (timonel).

En las épocas primitivas, de las embarcaciones basadas en remos  se tenía, el timonel-capitán tenía un ayudante que coordinaba la acción de los remeros que proporcionaban la fuerza que movía el barco. Basado en este ejemplo  podemos decir que existen cuatro centros para dirigir un sistema: director (capitán), planeador (timonel), coordinador y efector (remeros). El director fija la meta a alcanzar, el planeador observa las condiciones existentes y ajusta el timón de acuerdo al entorno para llegar a la meta, el efector es el centro con la que el sistema ejecuta una acción sobre su entorno.  En 1790 James Watt desarrolló un mecanismo  de control automático, de tipo mecánico al que llamó «governor«. En la figura se muestra este mecanismo (tomada ra-ibon.blogspot.mx/2011/05/), este sencillo mecanismo para regular la velocidad de un motor,  ajusta el nivel de vapor que entra desde la caldera con un giróscopo. Se propone como ejercicio identificar los centro funcionales para regular el comportamiento de un sistema que encuentren en la vida cotidiana o en algún campo de conocimiento.

Corresponde a Norbert Wiener haber introducido en su libro «Cybernetics» publicado en 1948 para referirse a una teoría general general de la regulación aplicada a una amplia gama de campos del concocimiento. También Wiener intodujo la idea de una teoría para la transmisión de mensajes, procesados entre las partes un un sistema regulado. Que en ese mismo año Claude Shannon formalizé en una teoría matemática de la información.  Esta idea de control y comunicación está presente en muchos en diversas disciplinas orientadas al estudio de los sistemas complejos.

 

Variedad y sistemas

El concepto de variedad fue introducido por Ross Ashby   en la sección 7/6 de su libro ya citado. Para esto da un ejemplo sencillo. Da  conjunto A = {a,b,a,b,d,a,c,a,b,d} con  una variedad igual a 4 (cuatro elementos diferenciados: a, b, c y d, así la variedad se puede definir como «el número de elementos diferenciados que existen un conjunto dado. La variedad mínima de en los números binarios (0 , 1) que como sabemos se puede usar para representar información que se manejan a través de los  sistemas de información digitales.

Los números 0 y 1 pueden representar objetos  o atributos, por ejemplo el sexo de los personas. En caso del ejemplo del conjunto  {a,b,a,b,d,a,c,a,b,d} se podría representar en forma binaria de la siguiente forma a = 00 b = 01, c = 10 y d = 11. Dicho de otra manera se requieren dos dígitos binarios para representar cualquiera de  4 elementos del conjunto A. De ahí que se conozca al bit (acrónimo de dígito binario -binary digit-). Como sabemos con los bit se puede representar cualquier tipo de información.

Comencemos por definir el concepto de variedad, tal y como es entendido por Ashby. Para ello, atendamos a un observador interesado en algún aspecto del mundo que le rodea. Consideremos que el objeto al que dedica su atención está formado por un conjunto de elementos. Pues bien, la variedad de ese conjunto puede ser definida como el número de elementos diferenciables por el observador.

Con el mismo ejemplo podemos pensar en cuantos mensajes podríamos enviar con cuatro letras a través de un equipo móvil. a, b, c, d, ab, ba y así sucesivamente, esto es el numero de combinaciones posibles. Se deja como ejerecicio le cálaculo de estas combinaciones. Otro ejemplo que podría darse cuantos mensajes se pueden codificar con ocho luces, en posiciones diferentes de la una linea recta,  con distintos colores, para que puedan distinguirse. En la figura (tomada de  bacteria fluorescente codificacion mensajes) se muestra una forma de codificación encontrada en bacterias flourescentes.

Transformación

La transición sencilla es algo que no ocurre en la realidad. La experiencia nos muestra que el concepto de «cambio» para ser útil  debe ser extendido para el caso que el operador puede actuar de diferentes maneras en uno o más operandos, induciendo la transición observada  en cada caso.

Así el operador «exposición al sol» tendrá diferentes efectos,  por ejemplo:

suelo frío —> suelo caliente
una placa fotográfica expuesta al sol —> a una placa  modificada por la luz
pigmento claro —-> pigmento obscuro

Este conjunto de transiciones sobre un conjunto de operandos se conoce como transformación. Otro ejemplo sencillo  lo  encontramos en un cifrado de palabras. Por ejemplo  la transformación que produce el cambio de la palabra GATO a HBUP. Esta transformación se podría definir por una secuencia , por ejemplo:  A ® B , B ® C,  B ® C …  Y® Z, Z ® A. Como ejercicio  transforma algunas palabras conocidas en español . En la figura (tomada del sitio ocw.upm.es/algebra/ se muestra un teselado que tiene cuatro elemento reconocibles y que van dando lugar a traslaciones,  un tipo muy conocido de transformación que se usa en el algebra y la geometría y que tienen muchas aplicaciones.

Se debe comentar que la transforamación,  no  hace breferencia a lo que «realmente es», no está referida a una causa que produce el cambio. Sólo está dado por un cojunto de operandos que establecen «que» cambia, no  «como» cambia. El conocimiento de la la naturaleza de los operandos por ejemplo de «la luz solar»,   con frecuencia no es lo esencial de que necesitamos saber. Lo importante es conocer la manera como actúan los operandos, esto es necesitamos saber la tranformación que se efectúa. La idea de la transformación y del cambio, ha sido una preocupación del hombre desde tiempos inmemoriales. Existe un tratamiento formal de las tranformaciones que más adelante se verá en detalle.

Nota basada en la sección 2/3 del libro de Ross Ashby. Introducción a la cibernética.

Cambio de estado

Un concepto fundamental en cibernética es el «cambio», esto es como los objetos cambian en. el tiempoEl cambio se puede observar de muchas maneras en la naturaleza y los artefactos, cuando pasan de un estado a otro. Frecuentemente el cambio ocurre en forma continua, en un número infinito de pasos, esto conduce a planteamiento matemáticos complicados. Otra manera de verlo es que el cambio ocurre en un número finito de pasos en el tiempo y que las diferencias entre estados sucesivos es finita,suponemos así que los cambios ocurren el saltos observables o medibles. Esta suposición puede lucir un tanto artificial en un mundo que cambia de manera continua, tiene grandes ventajas y no es tan artificial como parece. Cuando las diferencias son finitas, es mucho más fácil observar los cambios que ocurren. Por ejemplo en una gráfica discreta, los cambios se muestran como puntos separados  y los cambios se reconocen con mayor  facilidad. Esta idea del cambio discreto el estudio actual de la ciencia y de sistemas complejos. En la figura, de una manera un tanto en broma, se da esta idea del cambio evolutivo causado por  la tecnología (imagen tomada de eldivanrepublicano).  De hecho al discretizar el cambio no se pierde nada, ya que es posible ajustar a un corva continua que muestre el cambio., además  los cambios discretos son los que observamos con mucha frecuencia en diferentes situaciones. Por ejemplo cuando exponemos nuestra piel al sol observamos su transformación a un tono más obscuro, este es un ejemplo del cambio de estado en un sistema. Cuando se da un cambio hay un factor que lo produce, el operador del cambio y lo que se opera la transformación, el operando. La evidencia de que una transición se  observa a través del cambio de estado, en dos momento diferentes.

Caja negra y sistemas

La idea de caja negra es la de un artefacto que deconocemos su estructura interna y como fuciona, lo vemos como una caja cerrada, con la que interaccionamos  a través  de ciertas  entradas y salidas. A este tipo de sistemas con entradas y salidas Henrik Greniwsky, en su libro «Cibernética sin matemáticas» los llamó sistemas relativamente aislados. En la vida cotidiana usamos  dispositivos de diversa índole, que vemos como cajas negras, inclusive juguetes como el calidoscopio. Este es un buen ejemplo de caja negra nosotros observamos a través de un mirilla y tenemos discos, o el mismo ccuerpo de calidoscopio en forma de cilindro,  que giramos  para generar cambios dentro del esta pequeña caja negra. Nos podemos pasar horas manipulando el cilindro, o discos, y viendo lo que ocurre dentro de él. Los discos, o el cilindro, que hacemos girar son las entradas del sistema y la mirilla su salida.

En esta era digital usamos muchos aparatos como cajas negras, que tienen múltiples entradas y la posbilidad de una o varias salidas, en la figura tenmos un ejemplo de esto (tomada del sitio «Técnicas y tecnologías de diseño electrónico»). De hecho el diseño de dispositivos se basa en este concepto de caja negra, definiendo en un primer nivel sus entradas y salidas para después proceder a su dearrollo a diferentes niveles de detalle de diseño y construcción de un prototipo. De esta manera también se enfoca el desarrollo de sistemas de información. En la actualidad este enfoque se usa para el estudio de sistemas complejos, y de  diversas metodologías sobre modelado y simulación de procesos, usadas en en diversas disiciplinas.

¿Qué es la cibernética?

Norbert Wiener  la definió como «la ciencia del control y de la comunicación en el hombre y en la máquina» surge en 1942 y es un  campo muy extenso  de trabajo interdisciplinario y tal vez fundadora de movimientos de ideas con una  naturaleza interdisciplinaria, multidisciplinaria y transdiciplinaria para abarcar el estudio de sistemas complejos. Su origen etimológico está en la palabra griega kybernes de la cual se deriva la palabra gobierno disciplina orientada a regular el comportamiento social.

Desde su origen la cibernética se aplica a fenómenos complejos de diversa índole: físico, biológico y social. Es por excelencia la disciplina que estudia los sistemas complejos capaces de la autorregulación y su acción sobre el medio ambiente así que también se le podría llamar la ciencia de la acción. Existen conceptos centrales como la retroalimentación o retroacción. Caja negra con entradas y salidas  que también se le conoce como sistema relativamente aislado, ya que tiene vías bien definidas a través de las cuales interactúa con su entorno y con las que podemos estudiar su comportamiento y que  son las vías de comuniccaión y control, portadoras de información que transmiten a otros sistemas. 

Ross  Ashby en su libro «Introducción a la cibernética» introduce el concepto de la variedad de mensajes que puede emitir un sistema y que es fundamental para establecer la cantidad de información que maneja  un sistema,  desarrolló una expresión binaria similar, a la entropía de los sistemas termodinámicos, introducida por Claude E. Shannon.  En el diagrama de la figura (tomado de la wikipedia)  se muestra el conocido modelo de un sistema de información, basado en un transmisor que porta el mensaje de la fuente de información, un canal de comunicación por el cual senvía el mensaje y en el cual existe una fuente de  ruido, del otro lado está el receptor que lo tomará en cuenta si es relevante para lo que el   lo que el  destinatario quiere informarse. Este modelo se usa actualmente en una gran cantidad de disciplinas. En notas subsiguientes iré desarrollando los conceptos centrales de la cibernética, así como la obra de otros autores básicos en este campo.

Diagrama de comunicación Shannon