Archivos en la Categoría: retos y problemas

Brevísimo 1-0111: Redes de comunicación


Leonard Euler encontró un problema interesante al estudiar una pequeña red de puentes en la ciudad de Köninsberg (ahora Kaliningrado). Para estudiarlo construyó un gráfico planar, esto es una representación geométrica que dió origen a la teoría de gráficos. El problema consistía en saber si se podía hacer un recorrido que pasara por todos los puentes sólo una vez, iniciando y terminando el recorrido en el mismo punto. Era el entrenimiento favorito de los habitantes de la ciudad que paseaban y paseaban sin encontrar un recorrido que cumpliera con la condición dada. Euler encontró que no era posible hacer un recorrido de ese tipo por los siete puentes de Könisberg, (imagen tomada de http://elbustodepalas.blogspot.mx/

Pero no paró ahí, además estableció la expresión algebraica que establecía las propiedades de una red que admitía un recorrido, al cual se le llamó recorrido euleriano; llamó a los puntos vértices y a las lineas aristas, y enunció qué: “debe haber al menos dos vértices al que lleguen un número par de aristas. Con este resultado inició una rama de las matemáticas conocida como teoría de gráficas, que tien múltiples apliaciones entre otras a las redes de comunicación (Referencia: Teoría de las aplicaciones de los gráficos. Oystein Ore.)

Ejercicios: 1) Di porqué no se puede hacer un recorrido euleriano por los siete puentes 2) construye redes que admitan un recorrido euleriano 3) escribe una expresión algebraica que que establezca la condición que debe cumplir una gráfico que admite un recorrido euleriano. Envía tus soluciones a jblasquez@gmail.com.

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Brevísimo 1-1010: La edad de Diofanto


Arithmeticorum-Difanto

Una de los versiones sobre la invención del Algebra se le atribuye Diofanto de Alejandría, de quién no se conoce mucho de su vida. Se le atribuye entre otras cosas:  el empleo sistemático de símbolos para indicar potencias, igualdades o números negativos. De la obra de Diofanto se han conservado seis libros, que contienen un tratado sobre las ecuaciones y sobre sistemas de ecuaciones determinados e indeterminados, en el que se busca, de modo sistemático, la solución en números racionales. Uno de los problema que se atribuyen es el siguiente:

” La infancia de Diofanto duró un sexto de su vida;  Su barba creció después de un doceavo más; Se casó después de un séptimo más, y su hijo nació cinco años más tarde; El hijo vivió hasta la mitad de la edad de Diofanto,y Diofanto murió cuatro años más tarde que su hijo. ¿A qué edad murió Diofanto?” Este problema se plantea mediante una ecuación de primer grado:

Prueba aquí tus conocimiento de Algebra. (sugerencia: obten el común denominador)

Aprendamos con rompecabezas


Los rompecabezas son una herramienta muy poderosa para desarrollar nuestas habilidades jugando. Uno de ellos el Tangram (七巧板) chino que quiere decir  “siete tableros de astucia” que consite en forma figuras con siete piezas llamadas Tan esta formado por: cinco  triángulos, un  cuadrado y un paralelogramo. “Existen varias versiones sobre el origen de la palabra Tangram, una de las más aceptadas cuenta que la palabra la inventó un inglés  uniendo el vocablo cantonés  “tang” que significa chino, con el vocablo latino  “gram” que significa escrito o gráfico. Otra versión dice que el origen del juego se remonta a los años 618 a 907 de nuestra era, época en la que reinó en China la dinastía Tang de donde se derivaría su nombre. A partir del siglo XV, el juego era llamado “el rompecabezas chino” y se volvió tan popular que lo jugaban niños y adultos, personas comunes y personalidades del mundo de las ciencias y las artes; el tangram se había convertido en una diversión universal. ” (basado en  una nota de la wikipedia).

Otro rompecabezas de mayor antigüedad que el Tangram es el Stomachion de Arquímedes descubierto en una copia de un manuscrito atribuído a él, y que estaba sobre escrito sobre otro más antiguo, a estas copias se les conoce como palimpesto y fueron una manera de preservar durante la edad media el conocimiento de la antigüedad clásica. Este rompecabezas es más complicado que el Tangram por tener un mayor número de piezas y con forma irregulares, el reto que propuso Arquímedes fue encontrar cuantas figuras, que llenen el cuadrado,  se pueden armar. Un reto nada fácil de resolver y que hubo que esperar hasta la llegada de lasa computadoras la tener un número aproximado de las combinaciones posibles.  Con este rompecabezas es posible elaborar otros retos como por ejemplo determinar el área de cada figura.

los invito a aprender y enseñar jugando con el uso de los rompecabezas anteriores, que pueden construir ustedes mismos, además es parte de la experiencia de aprendizaje. En particular los he usado para la enseñanza de las matemáticas.


La geometría de los templos japoneses


Durante el periodo de Japón de aislamiento nacional (1639–1854), se desarrolló la matemática local, una manifestación importante son los  sangaku. La palabra sangaku significa literalmente tablilla matemática.

En tablillas  de madera delicadamente coloreadas que se dejaban colgadas bajo los tejados de los templos, se grabaron problemas de  geometría. Los problemas son planteados a manera de un reto: ¡Resuélvalo si puede! En la mayor parte de los sangaku se tratan problemas de geometría euclideana.  Pero los problemas son notablemente diferentes de aquéllos encontrados en un curso de geometría escolar típico. Los círculos y elipses juegan un papel más prominente que en problemas occidentales: círculos dentro de las elipses, elipses dentro de los círculos.   Algunos de los ejercicios son bastante simples y podrían ser resueltos por estudiantes de bachillerato. Otros son casi imposibles, y los geómetras modernos los resuelven con métodos avanzados, incluso cálculo y transformaciones afines. Los problemas de Sangaku involucran multitudes de círculos típicamente dentro de los círculos o de esferas dentro de otras figuras. En la figura se muestra un problema es de un sangaku datado 1788 en Prefectura de Tokio. Pide el radio del “n” el círculo azul más grande en los términos de r, el radio del círculo verde. Nota que los círculos rojos son idénticos, cada uno con radio r/2. (sugerencia: El radio del quinto el círculo azul es r/95).  La solución original a este problema despliega el japonés equivalente al teorema del círculo de Descartes. Nota basada en un artículo de Tony Rothman en colaboración de Hidetoshi Fukagawa, publicado en Scientic American 1996.

Estoy preparando notas sobre problemas  sangaku y sus soluciones, también sobre los conceptos matemáticos que se requieren para resolverse los interesados en dar segumiento a este tema por favor dejen un comentario en mi blog, para mantenerlos informados.

Un problema interesante…


En este problema debemos calcular el área de cada pieza del Stomachion justificando el procedimiento que se suguió  (pueden considerarse cuadros de 1 cm por lado), una sugerencia es que se identifique de que tipo de figura se trata. Después  debe verificarse que la suma de las áreas de las piezas  suman 144 unidades . Un problema complementario es calcular el perímetro de cada figura detallando el proceso de cálculo.

Nota: El lado del triángulo b es adyacente al rectangulo   C,  por lo cual es perpendicular a la base del cuadrado principal, no es diagonal cómo aparenta el dibujo.  Esto puede ocurrir, un mal trazo nos puede confundir, de ahí la importancia del razonamiento geométrico.

Los siete puentes de Koninsberg.


Königsberg (hoy Kaliningrado en Rusia) era en tiempos de Euler (siglo XVIII) una ciudad prusiana cruzada por siete puentes. Durante la época se suscitó la cuestión no resuelta de si era posible recorrer toda la ciudad cruzando cada uno de los puentes una y sólo una vez.  Adicionalmente se plantea otro problema qué condición se debe cumplir para que el recorrido inicie y termine en el mismo punto. En la figura se da  una representación esquemática de la ciudad, vemos que los puentes siete puentes unen cuatro porciones de tierra. Trata de resolver el problema y nos platicas lo que encontraste.

STOMACHION.


El stomachion es un rompezabezas de Arquimedes (287-212 a.C.), es el más antiguo que se conoce, anterior al tangram chino. Este rompecabezas era considerado cómo un juego para niños, pero el objetivo de Arquimedes era encontrar de cuántas maneras se podían ensamblar sus piezas para qué formen un cuadrado. Algo diferente al tangram con el que se forma figuras diversas.

Bonito reto para la imaginación… constrúyelo, colorea las piezas… puedes enviar por correo lo que hayas encontrado para publicarlas en este blog. La figura original en cuadrícula es la siguiente:

Stomachion