Archivos en la Categoría: Pensamiento Matemático

Brevísimo 1-1011: Conexiones en una red


Veamos el número de conexiones en  una red  poligonal  con “n” nodos imagen tomada de elatleta.com. Empecemos primero con un cuadrado, tiene cuatro nodos (vértices) y pueden darse entre ellos seis conexiones. Una un pentágono serían 5 nodos y 10 conexiones. Para un hexágono 6 nodos y 15 conexiones. Para el polígono de la figura ¿cuántas conexiones entre los nodos del polígono pueden tenerse?.

Podemos observar que el número de conexiones será mucho mayor al número de nodos, esto en una red quiere decir que la cantidad de conexiones deterrmina la complejidad del sistema.

De esta manera si cada nodo puede enviar un 1 o un 0 existe una gran cantidad de combinaciones muy grande. Esto es se pueden formar numerosos patrones reconocibles que pueden tener un significado, por ejemplo como se dan en la sinapsis de nuestro sistema nervioso que interconectan  las neuronas. Ahora si cada nodo puede transmitir una mayor variedad de mensajes, la complejidad aumentan. Imaginen una red de equipos móviles interconectados que puede transmitir mensajes con usando dos bytes (octeto binario). Las posibilidades aumentan enormemente. Como ejercicios sugiero calcular la variedad de mensajes que puede transmitir cada nodo y la cantidad de información que se puede manejar en una red de este tipo, con la condición de que todos los mensajes y conexiones tienen la misma probabilidad de ocurrir.

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Transformación


La transición sencilla es algo que no ocurre en la realidad. La experiencia nos muestra que el concepto de “cambio” para ser útil  debe ser extendido para el caso que el operador puede actuar de diferentes maneras en uno o más operandos, induciendo la transición observada  en cada caso.

Así el operador “exposición al sol” tendrá diferentes efectos,  por ejemplo:

suelo frío —> suelo caliente
una placa fotográfica expuesta al sol —> a una placa  modificada por la luz
pigmento claro —-> pigmento obscuro

Este conjunto de transiciones sobre un conjunto de operandos se conoce como transformación. Otro ejemplo sencillo  lo  encontramos en un cifrado de palabras. Por ejemplo  la transformación que produce el cambio de la palabra GATO a HBUP. Esta transformación se podría definir por una secuencia , por ejemplo:  A ® B , B ® C,  B ® C …  Y® Z, Z ® A. Como ejercicio  transforma algunas palabras conocidas en español . En la figura (tomada del sitio ocw.upm.es/algebra/ se muestra un teselado que tiene cuatro elemento reconocibles y que van dando lugar a traslaciones un tipo muy conocido de transformación que se usa en el algebra y la geometría y que tienen muchas aplicaciones.

Se debe comentar que la transforamación,  no  hace breferencia a lo que “realmente es”, no está referida a una causa que produce el cambio. Sólo está dado por un cojunto de operandos que establecen “que” cambia, no  “como” cambia. El conocimiento de la la naturaleza de los operandos por ejemplo de “la luz solar”,   con frecuencia no es lo esencial de que necesitamos saber. Lo importante es conocer la manera como actúan los operandos, esto es necesitamos saber la tranformación que se efectúa. La idea de la transformación y del cambio, ha sido una preocupación del hombre desde tiempos inmemoriales. Existe un tratamiento formal de las tranformaciones que más adelante se verá en detalle.

Nota basada en la sección 2/3 del libro de Ross Ashby. Introducción a la cibernética.

Caja negra y sistemas


La idea de caja negra es la de un artefacto que deconocemos su estructura interna y como fuciona, lo vemos como una caja cerrada, con la que interaccionamos  a través  de ciertas  entradas y salidas. A este tipo de sistemas con entradas y salidas Henrik Greniwsky, en su libro “Cibernética sin matemáticas” los llamó sistemas relativamente aislados. En la vida cotidiana usamos  dispositivos de diversa índole, que vemos como cajas negras, inclusive juguetes como el calidoscopio. Este es un buen ejemplo de caja negra nosotros observamos a través de un mirilla y tenemos discos, o el mismo ccuerpo de calidoscopio en forma de cilindro,  que giramos  para generar cambios dentro del esta pequeña caja negra. Nos podemos pasar horas manipulando el cilindro, o discos, y viendo lo que ocurre dentro de él. Los discos, o el cilindro, que hacemos girar son las entradas del sistema y la mirilla su salida.

En esta era digital usamos muchos aparatos como cajas negras, que tienen múltiples entradas y la posbilidad de una o varias salidas, en la figura tenmos un ejemplo de esto (tomada del sitio “Técnicas y tecnologías de diseño electrónico”). De hecho el diseño de dispositivos se basa en este concepto de caja negra, definiendo en un primer nivel sus entradas y salidas para después proceder a su dearrollo a diferentes niveles de detalle de diseño y construcción de un prototipo. De esta manera también se enfoca el desarrollo de sistemas de información. En la actualidad este enfoque se usa para el estudio de sistemas complejos, y de  diversas metodologías sobre modelado y simulación de procesos, usadas en en diversas disiciplinas.

Brevísimo 1-1111: Numeración hexadecimal


Con esta nota es la última  de la segunda serie de brevísimo, estudiáremos en sistema de numeración hexadecimal, base 16 aprovecharemos las características del ábaco chino (figura tomada de la wikipedia). Podemos observar que existen cinco cuentas en la parte de abajo lo cual nos permite contar en cada columna hasta el cinco, arriba existen dos cuentas  que representan cinco unidades, esto es las diferentes combinaciones permite contar del 0 al 15, considerando el 0 que nos hay cuentas en la barra superior su funcioniento se usa habitualmente en base 10 como en el caso del ábaco japonés.

En esta nota se verá su uso para contar en el sistema hexadecimal. En este sistema se usan los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C,  E, F, los números binarios se pueden representar fácilmente en esta forma, por ejemplo el número esta nota en hexadecimal  es 1F y equivale al octeto  octeto binario 0001-1111, es la informática se llama byte. Así en un ábaco chino podemos realizar operaciones como lo hacen las computadoras digitales.

Observen como en base 1 + 1 =10 por eso la computadoras suman muy rápido en binario suman muy rápido. Otro ejemplo  11 + 11 = 100. En base diez sería 1 + 1 =2 y 3 + 3 = 6. De ahí que nosotros tenemos que hacer las operaciones en tablas y en las computadoras es muy directo.  Veamos la suma   1+F= 10 ¿porqué?, es como cuando llegamos  hacemos la operación 1 + 9  = 10, ya no nos alcanzan los nueve dígitos para representar al diez. Como un dígito hexadecimal equivalente a 4 dígitos binarios, tendríamos 1+ 1111= 10000. Es el llamado “acarreo” cuando sumamos  y que cambiamos e un orden de magnitud en base diez, de las unidades, a las decenas y de las decenas a las centena y así sucesivamente. Bien ahora les dejo un ejercicio sencillo ¿cuánto es F + F? piensen en hexadecimal o binario les será muy fácil llegar al resultado. Después vean a cuanto equivale esa suma en sistema decimal (sugerencia 1 + 2  + 4 + 8 = 15= F)

Brevísimo 1-1100: La estructura de los árboles.


Un árbol es un grafo (gráfico) cuya estructura no  tiene ciclos, se le conoc como grafo (gráfico) conexo acíclico; a diferencia de una red poligonal que tiene ciclos. Los árboles tienen diversas aplicaciones. Algunos muy común para hacer clasificaciones o para construir árboles genealógicos. Actualmente en la genética se usa para estudiar la forma la forma de propagación de una especie.  El nombre viene de la estructura que se observa de los árboles en la botánica. La complejidad del árbol dependerá del núemro de conexiones que existen entre sus diferentes nodos, siendo la más simple la de un árbol binario. Que tiene entre otras aplicaciones el cálculo de posibles combinaciones y la probalidad de que una trayectoria tenga más probabilidad de ocurrir que otra, lo que se usa en la inteligencia artificial en el diseño de autómatas. Los árboles pueden tener diferentes niveles de profundidad. También existe árboles con más conexiones en cada nodo, que pueden seguir uan forma regular o irregular. En el árbol que se muestra en la figura (tomado de la wikipedia), se tienen una estructura irregular con tres niveles. En el  estudio de la propagación de una especie,  por ejemplo el  homo sapiens, se parte de evidencias empíricas y ahí que se obtengan árboles irregulares, eestas estructuras han permitido seguir la propagación del genoma de diversas especies.

Brevísimo 1-1010: Calculando miles de millones


La leyenda del ajedrez. Es conocida la leyenda sobre el origen del ajedrez que un sabio inventó para enseñar a un rey sobre estrategia.  El rey le ofreció en gratitud por haberlo inventado para su entretenimiento, lo que el sabio quisiera, el sabio pidió: semillas pero con la regla siguiente: pon sobre la primera casilla del tablero pusiera un grano de trigo, en la  segunda 2, en la tercera 4, en  la cuarta 8, y así para cada casilla. El rey sintió que era una broma y se molestó, pero hizo lo que su maestro le pedía, pronto se dió cuenta que todos granos del reino no serían suficientes para cumplir el deseo de su sabio mentor…. ¿puedes calcular el número?

Reproducción. Ahora imagina que un organismo se reproduce por bipartición cada minuto, calcula cuantos sería en una hora. Supongamos que en esa hora se llena el recipiente en el que lo tienes ¿en qué minuto el recipiente estaría a la mitad. Imagina  el crecimiento que ha tenido la humanidad. Figura tomada del sitio nosinmibici.com.

Problema de los ancestros.  Ahora supongamos que dos humanos tienen sus hijos alrededor de los 25 años. Pensemos ahora en nuestros ancestros; cada uno de nosotros tenemos oun padre y una madre, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, 16 tatarabuelos. Calculemos ahora cuantos ancestros tenemos cada uno de nosotros en los últimos 500 años. El número es impresionante  ¿Qué significa esto?, ¿que antes la Tierra estaba más poblada que ahora?

Potencias de diez. Contar  grandes números requiere de un sistema adecuado e numeración. Por ejemplo: un millón, billón (millón de millones), un trillón y asi hasta llegar a un um número de un 1 y dieciocho ceros. El número final se puede expresar como 1018. Construye una tabla que muestre las diferentes magnitudes posibles desde 1 hasta 18, esta es desde un cero hasta dieciocho. Finalmente calcula cuantos segundos hay en 32,000 años (el tiempo estimado de la existencia de la civilización en la Tierra) y exprésalo en potencias de base 10.

Brevísimo 1-1001: El proceso de abstracción


La abstracción ha sido muy importante en el desarrollo del pensamiento humano. Aristóteles le llamó aphaireisque, que se tradujo al latín como abstractio. La abstracción  empieza cuando observamos objetos que tiene ciertas propiedades y comparando aquellos cuyas propiedades son similares. El proceso mental de abstracción en diferentes disciplinas  se parte de hechos empíricos y de  ellos se tratan de encontrar propiedades comunes. Dicho de otra manera pasamos del mundo físico hacia un espacio dentro de nuestra mente  y reflexionamos sobre la naturaleza de los hechos. Esto dará origen a otro proceso en el buscamos una teoría que explique lo que hemos observado y nuestras conjeturas, pasamos así a otro nivel donde creamos conocimiento, que en esencia es el punto central de cualquier disciplina. Lo que hemos comentando se ajusta a los mundos que propone  Karl Popper (figura tomada del sitio monografias.com)

En las notas anteriores de esta serie mostramos diferentes situaciones con diferentes niveles de abstracción desde los ábacos y la manera de contar  en diferentes sistemas de numeración, hasta los gráficos planares isomorfos. Es muy imoortante comprender y aplicar este proceso de abstracción. ya que de esta manera podemos desarrollar nuestras capacidades par resolver problemas en diferentes contextos.

Brevísimo1-1000: Viaje por el mundo de Hamilton


Dodecahedron

En 1859 el matemático irlandés Sir William Rowan Hamilton (4 de agosto de 1805, 2 de septiembre de 1865) lanzó al mercado un rompecabezas peculiar. Era un dodecaedro regular de madera. Es uno de los llamados sólidos de Platón, conocido como Dodecahedron. Es un poliedro que tiene doce caras en forma de un pentágono y regular y que en total tiene 20 vértices. Cada uno de los vértices correspondían a 20 ciudades importantes del mundo, el problema consistía en hacer una ruta en la que se pasara una sóla vez, cad quién puede empezar por la ciudad que guste.

ruta  HamiltonianaComo el dodecaedro no era fácil de manejar Hamilton elaboró un gráfico planar isomorfo, que en esencia es una proyección del dodecaedro a un plano. De esta manera era más fácil tratar de hacer el recorrido, y se obtenían diferentes rutas para recorrer el mundo. En la figura de la inzquierda se muestra un recorrido halmiltoniano. Observe como en la figura plana no todas la caras del dodecaedro parecen pentágonos regulares, sin embargo, son pentágonos, con cinco aristas cada uno. Esto quiere decir que la figura plana isomorfa conserva la propiedad, de tener doce  caras con cinco aristas, con un total de 20 vértices (verifica esto). Los isomorfismos son una herramienta poderosa para resolver problemas que la transformación se simplifican. Esto es e gran utilidad en diferentes campos del concimientos entre otros:  física, matemáticas ytecnología. Incluso Claude Levy Strauss encontró isomorfismos entre las mitologías de diferentes culturas  (figuras tomadas de la wikipedia). Investiguen sobre los alguno usos que se dan a la transformaciones isomórficas.

Brevísimo 1-0111: Redes de comunicación


Leonard Euler encontró un problema interesante al estudiar una pequeña red de puentes en la ciudad de Köninsberg (ahora Kaliningrado). Para estudiarlo construyó un gráfico planar, esto es una representación geométrica que dió origen a la teoría de gráficos. El problema consistía en saber si se podía hacer un recorrido que pasara por todos los puentes sólo una vez, iniciando y terminando el recorrido en el mismo punto. Era el entrenimiento favorito de los habitantes de la ciudad que paseaban y paseaban sin encontrar un recorrido que cumpliera con la condición dada. Euler encontró que no era posible hacer un recorrido de ese tipo por los siete puentes de Könisberg, (imagen tomada de http://elbustodepalas.blogspot.mx/

Pero no paró ahí, además estableció la expresión algebraica que establecía las propiedades de una red que admitía un recorrido, al cual se le llamó recorrido euleriano; llamó a los puntos vértices y a las lineas aristas, y enunció qué: “debe haber al menos dos vértices al que lleguen un número par de aristas. Con este resultado inició una rama de las matemáticas conocida como teoría de gráficas, que tien múltiples apliaciones entre otras a las redes de comunicación (Referencia: Teoría de las aplicaciones de los gráficos. Oystein Ore.)

Ejercicios: 1) Di porqué no se puede hacer un recorrido euleriano por los siete puentes 2) construye redes que admitan un recorrido euleriano 3) escribe una expresión algebraica que que establezca la condición que debe cumplir una gráfico que admite un recorrido euleriano. Envía tus soluciones a jblasquez@gmail.com.

Brevísimo 1-0100: Contando en base diez


El ábaco japonés sorobán (算盤) es un instrumento para contar y calcular en forma natural en base diez. El ábaco japonés está compuesto por cuatro cuentas en la parte inferior de cada varilla y una en la parte superior.  En Japón se prepara a los niños desde los seis años de edad y desarrollan diferentes habilidades: observación, buena memoria para recordar datos en forma eficiente, razonar de diferentes maneras, y rapidez mental para el cálculo numérico; además contribuye al desarrollo psicomotriz de los dedos. Con el uso habitual, permanente, y disciplinado se puede lograr una eficiencia y velocidad de cálculo muy notable, pudiendo superar al uso manual de una calculadora digital de bolsillo. (con material obtenido en la wikipedia).

Debemos observar que las cuatro cuentas en la parte inferior equivale a las unidades 1,2,3, 4, que al llevarse a la barra divisoria, en la primera varilla de la .nuestra derecha,  nos permiten contar del 1 al 4, el cero  es cuando no hay cuentas. La cuenta de la parte de arriba es el 5, los dígitos restantes se forman cuando en la barra divisoria están abajo de la cuenta que equivale al cinco. De esta manera se tienen los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Para obtener el diez se sube uan cuenta de la varilla siguiente, y se sigue conatndo el procedimiento usado en la primera varilla, aasí podemos contar hasta un núemro muy grande que depende del número de varillas que tenga en soroban. Para un ábaco con diez varillas ¿hasta que número se puede contar?